Der gelernte Automechaniker Josef Veleta war von 1948 bis 1955 als Angestellter der Wiener Gebietskranken-
kasse tätig, wurde 1955 Landessekretär der Sozialistischen Jugend Wien und 1957 Bezirkssekretär der SPÖ-Hernals. Von 1965 bis 1979 wirkte Veleta als Bezirks­­­vorsteher von Hernals, von 1979 bis 1983 als Amtsführen-
der Stadtrat für die Bereiche Vermögensverwaltung, städtische Dienstleistungen und Konsumentenschutz.

Der langjährige Bezirksparteivorsitzende der SPÖ-Hernals (1980–1988) war von 1983 bis 1986 auch Abgeord-
neter zum Nationalrat und von 1986 bis 1990 Mitglied des Bundesrates.